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3. 수정편의 해석

1) 절단 수정편의 해석

<그림 3-1>

 

본 장에서는 AT-cut 수정 진동자 및 AT-Cut 수정편에 있어서 M.C.F (Monolithic Crystal Filter)의 이론에 관해 정리한다.

AT-Cut 수정 진동자의 진동 방정식은 아래와 같이 표현된다.

W ² = V y ² () ² + V x ² () ² + V z ² () ² - (식 2 - 1- 1)

 

여기서 k, m, n은 경계조건에서 나오는 상수이며, h는 두께 x는 x 방향의 길이, z는 z 방향의 길이이다.

k=1 일때 기본모드만을 생각하므로 아래와 같이 쓸 수 있다.

W ² = W ² e + V x ² () ² + V z ² () ² - (식 2 - 1- 2)

윗 식을 다시 정리하면

W ² = W ² e + () + () - (식 2 - 1- 3)

식에서 p는 수정의 밀도이며 K는 식의 유도과정에서 근사에 의한 보정 상수이다.

C11 , C55, C66 은 수정의 탄성상수 (Elastic Constant) 이며 그 값은 아래와 같다.

C11 = 8.674 × 10 Newton / meter ²
C55 = 6.883 × 10 Newton / meter ²
C66 = 2.899 × 10 Newton / meter ²
ρ = 2649 ㎏ / meter ³

K 1

k = m = n = 1 일때 크기가 제일 큰 모드가 일어나며 이것을 기본 모드라 하며 W11 로 표시된다.
m 1, n 1 일때 모드를 Anhamonic 모드라 하며 k 1 일때 모드를 Overtone Mode라고 한다.
수정편 위의 증착면적의 최적비를 결정하기 위하여 x z간의 적당비를 구하여야 한다.
W13 = W31 일때 W11과 주파수의 차가 가장 크게 된다.
W13 = W31은 아래의 식으로 표현된다.

W ² + W ² e + () + · = W ² + ()
+ · -
(식 2 - 1- 4) 다시 정리하면

() ² = - (식 2 - 1 - 5)

 

위의 식에 탄성상수를 대비하면

x / z = 1.26 이 된다.

 

위의 비율은 M.C.F의 Mask제작에 필요하며, 증착면에서 X축과 Z축의 비를 나타내며 1.26을 크게 벗어나지 않는 범위에서 Mask를 설계하여야 한다.

또한 높은 Q갑을 만족시키려면 가능한 한 다른 진동모드가 포획되지 않도록 하여야 한다.

AT-Cut 수정편에는 주 Mode인 Thickness Mode 등이 차단 주파수와 관계업이 비전극부의 경계에서 발생되어 양쪽으로 전파된다. 특히 Flexural, Face-Shear, Extensional Mode 등이 차단 주파수와 관계없이 비전극부의 경계에서 발생되어 양쪽으로 전파된다.

특히 Flexural Mode는 Thickness Mode와 Coupling 되기 쉬워서 비전극부로 나가는 Flexural Wave 파장의 정수비가 경계면에서 Mode 가 형성됨으로써 Energy 의 손실을 줄여야 한다.


2) 전극이 있는 AT-Cut 수정진동자의 해석

수정진공자의 주파수 조정을 위하여 수정편에 은을 증착하여 전극을 만들어야 한다.
전극이 형성된 수정진동자의 해석을 위하여 아래 그림을 고려하자.



<그림 3-2> A Plate with different thickness regions


그림과 같은 수정진동자의 전극에 교류전압을 가해주면 수정의 압전성질에 의해서 Thickness-Shear 진동이 생긴다. 수정편 두께에 의하여 결정되는 진동주파수에서 전극부분에는 상당히 큰 진동이 발생된다.

이 진동은 하나의 이정한 차단 주파수 (Cut off Frequency )를 갖고 이 주파수보다 낮은 주파수에서는 축방향의 전파 상수가 허수가 되므로 진동파가 전파되지 못한다.

전극의 무게와 수정의 압전성질에 의해서 전극부분의 차단 주파수는 전극이 없는 부분에서 보다 낮아진다.

전극의 밀도와 수정의 밀도가 같고, 수정편의 면적이 무한히 크다고 가정하면 전극 부분의 차단주파수는
· V 이고 전극이 없는 부분의 차단주파수는 · V 가 된다. (여기서 V 는 전파속도이다)

따라서 · V < W < · V 의 주파수 범위에서 전극부분의 Thickness Shear 진동은 축방향의 전파상수가 실수가 되어 전극이 진동자로 동작을 하게 된고, 전극이 없는 부분에서는 진동이 지수 함수적으로 감소하게 되어 마치 진동파가 전극 부분에 포획된 것과 같은 현상이 일어나며, 이것을 에너지포획 (Energy Trapping) 현상이라고 한다.

W' > 전극부
W' < 전극부
전극부 < W < 전극부

<그림 3-3>

또한 이 비율은 진동주파수 차에 의해 결정되며, 전극 부분의 진동 주파수에 대한 이 두주파수의 차의 비를 증착량비(Plate Back)이라고 하며 아래와 같이 정의한다.

증착량비 - (식 2 - 2 -1 )

Wu = 전극이 없는 부분의 진동주파수 (무전극 주파수)
Wp = 전극이 있는 부분의 진동주파수 (전극 주파수)

이와 같이 정의된 증착량비는 전극에 증착되는 은의 양으로 조정된다.

 

3) 전기적 등가회로

 

* MSF 수정편에 있어서 방향 (x-x, Z-Z)의 결합 계수를 그림으로 표현하였다.

 
Value of C2 for thickness shear coupling.
C12 = 3.83 × ( + kx ) ² × Farads
 

 
Value of C2 for thickness twist coupling.
C12 = 6.16× ( + kz ) ² × Farads

Beaver's Length Correction Factors kx = 2.1      kz = 8.8

Figure 10.5 The Equipvalent Circuit of A Coupled Resonator Pair
(all dimensions are in meters)

 

수정의 압전성질에 의해 기계적 에너지가 전기적 에너지로 바뀌므로 M.C. F의 전기적 등가회로를 다음과 같이 표시할 수 있다.


Figure 2 - 3 - A The Equvalent Circuit of a M. C. F

 

소자의 값들은 물리적인 성질과 크기에 의해 결정되며 다음과 같이 주어진다.

L1 = 4.22 × 10 ⁴      Henries - (식 2 - 3 - 1)
C1 = 0.22 ×      Farads - (식 2 - 3 - 2)
C0 = 40.4 ×       Farads - (식 2 - 3 - 3)

C12 의 값은 Thickness - Shear Coupling (X - X) 일 때

C12 = 3.83 × (+ 2.1)²       Farads - (식 2 - 3 - 4) 이며, Thickness - Twist Coupling (Z - Z) 일때는 다음과 같다.

C12 = 6.16 × (+ 8.8)²      Farads - (식 2 - 3 - 5)

광대역 여파기의 제작을 위해서는 Fa와 Fs의 차이가 넓어야 하므로 Thickness - Shear (X-X)의 C12 값을 사용하여야 한다.
그림 2-3-A에서 M.C.F를 제작하기 위한 주파수를 생각하여 보자. 1'-2을 Open 시키고 Co를 무시하고, 1-2에서 바라다 본 Impedance 0 인 주파수를 구하고 F1,2 라 하면

F1,2 =      - (식 2 - 3 - 6)

1-1'의 주파수를 Fa라 하면
Fa =           - (식 2 - 3 - 7)

1-1'을 short 시키고 2번과의 Impedance 0인 주파수를 Fs라 하면
Fa =          - (식 2 - 3 - 8)

여기에서 F1, 2 를 이용하여 Fa와 Fs의 주파수를 맞추어야 한다. F1,2 는 M. C. F를 제작하기 위한 주파수이다.

  
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